Matrix Operations and Examples

operasi matriks n.w
1 / 36
Embed
Share

Learn about matrix operations such as addition, subtraction, scalar multiplication, and see examples illustrating these operations in matrices. Understand the concept of similarity between matrices and how to perform operations using matrices.

  • Matrix Operations
  • Examples
  • Matrix Math
  • Mathematics
rayaanacharya
loue_10 Follow

Uploaded on | 0 Views

Download Presentation

Please find below an Image/Link to download the presentation.

The content on the website is provided AS IS for your information and personal use only. It may not be sold, licensed, or shared on other websites without obtaining consent from the author. If you encounter any issues during the download, it is possible that the publisher has removed the file from their server.

You are allowed to download the files provided on this website for personal or commercial use, subject to the condition that they are used lawfully. All files are the property of their respective owners.

Download Presentation

The content on the website is provided AS IS for your information and personal use only. It may not be sold, licensed, or shared on other websites without obtaining consent from the author.

E N D

Presentation Transcript

  1. Operasi Matriks Dani Suandi, M.Si.

  2. Kesamaan Kesamaan Dua Dua Matriks Matriks Definisi Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] dikatakan sama jika : aij = bij, 1 i m, 1 j n yaitu, elemen yang bersesuaian dari dua matriks tersebut adalah sama. Contoh : 1 2 0 2 1 1 2 y 2 x w = = A 3 4 4 dan B 4 z 5 4 Matriks A dan B dikatakan sama jika w = -1, x = -3, y = 0, dan z = -5 01/07/2025 2

  3. Operasi Operasi Pada Pada Matriks Matriks Penjumlahan (addition) Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ukurannya sama maka jumlah A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut + + + + + + + + + a a a a a a a a a b b b b b b b b b a a a b b b a a a b b b a a a b b b 11 12 13 11 12 13 11 11 12 12 13 13 = = = A ; B A B + 21 22 23 21 22 23 21 21 22 22 23 23 31 32 33 31 32 33 31 31 32 32 33 33 01/07/2025 3

  4. Contoh Contoh + + Penyelesaian Penyelesaian Jika 3 1 2 5 4 4 0 6 7 = = A dan B 6 8 2 Maka: 7 4 12 A B + = 1 2 6 01/07/2025 4

  5. Operasi Operasi Pada Pada Matriks Matriks Pengurangan (subtruction) Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ukurannya sama maka selisih A - B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri-entri yang bersesuaian pada matriks B dari entri-entri pada matriks A a a a a a a a a a b b b b b b b b b a a a b b b a a a b b b a a a b b b 11 12 13 11 12 13 11 11 12 12 13 13 = = = A B A ; B 21 22 23 21 22 23 21 21 22 22 23 23 31 32 33 31 32 33 31 31 32 32 33 33 01/07/2025 5

  6. Contoh Contoh + + Penyelesaian Penyelesaian Jika 3 1 2 5 4 4 0 6 7 = = A dan B 6 8 2 Maka: 1 8 2 A B = 1 14 2 01/07/2025 6

  7. Operasi Operasi Pada Pada Matriks Matriks Perkalian Skalar Pada Matriks Jika A adalah suatu matriks dan c suatu skalar, maka hasil kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing- masing entri dari A oleh c. a a a a a a a a a ca ca ca ca ca ca ca ca ca 11 12 13 11 12 13 = = A c A 21 22 23 21 22 23 31 32 33 31 32 33 01/07/2025 7

  8. Contoh Contoh Soal Soal + + Penyelesaian Penyelesaian Jika 7 4 12 = A 1 2 6 Maka: 7 4 12 14 8 24 = = 2. A 2. 1 2 6 2 4 12 01/07/2025 8

  9. Perkalian Perkalian Dua Dua Buah Buah Matriks Matriks Matriks Amxn dapat dikalikan dengan matriks Bpxq jika dan hanya jika banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. ( n = p) AmxnBnxq = Cmxq A=[aij] mxn dan B= [bij] nxq maka C = [cij]mxq dengan n = c ij ij a b ij = 1 j 01/07/2025 9

  10. Contoh Contoh Soal Soal + + Penyelesaian Penyelesaian Tentukan AB dan BA jika: 1 2 3 2 1 3 4 2 Jawab: , = = A B 1 1 4 1 1 2 3 2 1 4 = AB 1 1 3 2 4 1 + + + + 2(1) 1( 1) 4(4) 1(1) 3( 1) 2(4) + + 2(2) 1(3) 4( 1) 1(2) 3(3) 2( 1) + 17 4 3 5 = = + 01/07/2025 10

  11. Contoh Contoh Soal Soal + + Penyelesaian Penyelesaian 1 2 3 + + + 2 1 4 = BA 1 1 3 2 4 1 + + 1(2) 2( 1) 1(2) 3( 1) 4(2) ( 1)( 1) 4(1) ( 1)(3) 4(4) ( 1)2 + 1(1) 2(3) 1(1) 3(3) + 1(4) 2(2) 1(4) 3(2) + 0 7 8 2 = + = 5 8 9 1 14 01/07/2025 11

  12. Let A, B, C be matrix in the same order and , be element of Real number, Then we have some properties as follow : A + B = B + A A + ( B + C ) = ( A + B ) + C ( A + B ) = A + B ( + ) ( A ) = A + A 1. 2. 3. 4. 01/07/2025 12

  13. Latihan Latihan Soal Soal 2 1 4 1 2 0 1.Jika = = dan A 3 5 1 2 B 1 5 1 2 3 5 1 0 tentukanlah: a.2A + B b.-3B + A c.A 2BT 01/07/2025 13

  14. Operations on Matrices Transpose of a Matrix Definition If A is any m x n matrix, then the transpose of A, denoted by AT, is defined to be the n x m matrix that the results from interchanging the rows and columns of A Example : transpose of a matrix = 6 5 4 If A = At then A is called symmetry. Example: = 1 1 2 3 A 1 4 2 1 = T 2 5 A A 3 3 6 01/07/2025 14

  15. Operations on Matrices Transpose of a Matrix ((A)t)t = A a. b. (A + B)t = At + Bt c. (A - B)t = At - Bt d. (kA)t =kAt, k is scalar e. (AB)t = BtAt 01/07/2025 15

  16. Operations on Matrices Trace of a Matrix Definition If A is n x n square matrix, then the trace of A, denoted by tr(A), is defined to be the sum of the entries on the main diagonal of A, or given by formula tr(A) = a11+a22+ +ann Example : trace of a matrix 1 4 7 = tr(A) = 1+5+9=15 2 5 8 A 3 6 9 01/07/2025 16

  17. Example : Let : 2 1 = 3 - 2 A - 1 0 Find a. A At b.At A 01/07/2025 17

  18. Answer : 2 3 - 1 = t A 1 - 2 0 Then 5 -2 -2 4 -2 -3 1 2 1 2 3 1 - = 13 -3 = t 3 - 2 AA 1 - 2 0 1 - 0 And 2 1 -4 14 2 3 1 - 3 - 2 = At A = 1 - 2 0 5 -4 1 - 0 01/07/2025 18

  19. Exercises Let , and 1 1 3 0 1 4 2 4 1 = = C B = 1 2 A 3 1 5 0 2 Find (for no 1 4) : 1. AB 2. 3CA 3. (AB)C 4. (4B)C + 2C 01/07/2025 19

  20. Let 2 1 0 3 2 0 = = 1 2 1 D 0 1 0 E and 4 4 1 0 1 2 5. Find D + E2 (hint : E2 = EE) 6. Find 3(DE)t and also 3DtEt and 3EtDt. Which one have the same result? Why? 7. Find 7tr(D) and tr(7D). How the conclusions? 8. Find tr(4Et 2D2) 01/07/2025 20

  21. Latihan Latihan Soal Soal 2. Diberikan matriks : 2 1 3 2 2 1 3 4 0 2 3 1 1 2 = = = A C 1 2 3 B 4 5 2 1 Jika mungkin, hitunglah : a. (AB)t b. BtAt c. AtBt d. BtC + A e. (Bt + A)C 01/07/2025 21

  22. Operasi Operasi Baris Baris Elementer Elementer Operasi baris elementer meliputi : 1. Pertukaran Baris 2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol 3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris yang lain. Contoh : OBE 1 Pertukaran Baris - 3 - 2 - 1 1 2 3 Baris pertama (b1) ditukar dengan baris ke-2 (b2) = 1 2 3 A ~ - 3 - 2 - 1 b b 1 2 0 2 4 0 2 4 01/07/2025 22

  23. Contoh : OBE 2 Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol 1 -1 0 -1 ~ 0 2 1 7 2 -1 1 3 Perkalian Baris pertama (b1) dengan bilangan 4 - 4 0 - 4 1 4 = b 0 2 1 7 A 1 2 1 - 1 3 Contoh : OBE 3 Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol dengan baris yang lain. 1 -1 0 -1 ~ 0 2 1 7 0 1 -1 5 1 - 1 0 - 1 Perkalian ( 2) dengan b1 lalu tambahkan pada baris ke- 3 (b3) + 2 b b = 0 2 1 7 A 1 3 2 - 1 1 3 01/07/2025 23

  24. Definisi Definisi yang yang Perlu Perlu DIketahui DIketahui 1 0 0 1 0 0 1 3 2 0 = 1 0 B Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol. Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 2 pada baris ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing. Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama. Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke-3 adalah nol. 01/07/2025 24

  25. Sifat Sifat- -Sifat Sifat Matriks Matriks Hasil Hasil OBE OBE Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 (dinamakan satu utama). Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih ke kanan. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris paling bawah. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur yang lainnya adalah nol. Matriks dinamakan eselon baris jika dipenuhi sifat 1, 2, dan 3 Matriks dinamakan eselon baris tereduksi jika dipenuhi semua sifat 1, 2, 3, dan 4 1. 2. 3. 4. 01/07/2025 25

  26. Contoh Contoh Tentukan matriks esilon baris tereduksi dari: 0 -2 2 8 3 1 -1 2 1 -1 0 -1 = A Solusi 1 -1 0 -1 0 -2 2 8 3 1 -1 2 1 -1 0 -1 0 -2 2 8 0 4 -1 5 + ~ 3 b b 1 3 1 -1 0 -1 0 1 -1 -4 0 0 3 21 1 -1 0 -1 0 1 -1 -4 0 4 -1 5 1 2 + ~ ~ 4 b b b 2 2 3 01/07/2025 26

  27. 1 -1 0 -1 0 1 -1 -4 0 0 1 7 1 -1 0 -1 0 1 0 3 0 0 1 7 1 3 + ~ b ~ b b 3 3 2 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 7 + ~ b b 2 1 01/07/2025 27

  28. Perhatikan hasil OBE tadi : 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 7 Setiap baris mempunyai satu utama. Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena Jumlah baris lebih sedikit dari jumlah kolom (kolom 4 tidak mempunyai satu utama) 01/07/2025 28

  29. Latihan Latihan Soal Soal Tentukan bentuk eselon baris tereduksi dari matriks berikut: 3 5 2 4 1 2 3 1 2 1 5 3 1 0 1 1. 2. 1 2 2 3 2 3 4 1 2 3 1 4 2 13 2 1 4 1 6 2 3 1 1 2 2 3 3. 4. 2 1 11 3 3 7 3 01/07/2025 29

  30. Inverse Matrix Let A be a square matrix. B is said a inverse of A if A B = I dan B A = I Otherwise, A is called inverse of B. Denoted by A = B-1 How to get inverse matrix? A| ERO ( ) ( ) I 1 | I A ~ If A doesnot have reduced row echelon then A is not invertible July 1, 2025 30

  31. Example : Find a inverse matrix : 0 3 2 1 = 1 1 A 2 2 1 Answer : 3 2 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 b1 b2 1 1 0 0 1 0 3 2 1 1 0 0 ~ 2 2 1 0 0 1 2 2 1 0 0 1 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 1 -3 0 0 -3b1+b2 2b1+b3 0 1 0 2 1 July 1, 2025 31

  32. 1 0 1 1 1 0 0 -1 3 0 1 0 1 1 0 0 1 0 -b2 0 1 1 1 3 0 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 1 0 1 1 0 0 0 -1 1 1 0 -b3+ b2 -1 1 0 0 0 0 1 0 2 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 -b2+ b1 0 0 1 2 So, Inverse Matrix of A is 1 0 1 = 0 1 1 1 1 1 A 2 July 1, 2025 32

  33. We know : 0 3 2 1 1 0 1 = 1 1 A = 0 1 1 1 1 1 A and 2 2 1 2 So 2 1 0 1 0 1 = 0 1 1 1 2 1 1 1 1 A A 0 1 2 2 1 0 0 = 0 1 0 0 0 1 July 1, 2025 33

  34. Some properties of Inverse matrices : i. (A-1)-1 = A ii. If A, B invertible then (A . B)-1 = B-1 . A-1 1 k 1 A iii. Let k Riil then(kA)-1 = iv. Corollary of (ii) : (An)-1 = (A-1)n July 1, 2025 34

  35. Exercise of Chapter 1 1. Which matrices below are in row echelon form or reduced row echelon form or neither? Why? 1 1 1 0 0 0 1 1 0 2 7 . 0 d . a 0 1 2 4 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 . 0 e . b 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 4 7 1 4 1 0 5 8 1 9 5 1 . 0 . 0 c f 0 1 0 July 1, 2025 35

  36. 2. If 3 0 1 4 2 4 1 = = C B = 1 2 1 A 3 1 5 0 2 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 2 3 1 2 3 1 1 1 = = D 1 0 1 0 2 1 E Find reduced row echelon form of A, B, C, D, E, F ! Find inverse matrix of B and D using ERO (if any) ! July 1, 2025 36

Related


No related presentations.

More Related Content